レイチェル: Ohh, thank you for the wonderful dinner. （素敵なディナーをありがとう。）
ロス: Thanks for being born. （生まれてきてくれてありがとう。）
レイチェル: Ohh, thank you for my beautiul earrings. They're perfect. I love you. （このきれいなイヤリング、ありがとう。最高よ。愛してるわ。）
ロス: Oh, now you can exchange them if you want, okay? （あぁ、もう、そのイヤリング、他のと交換したかったら交換してもいいんだよ。）
レイチェル: Now I love you even more. （今、あなたのこと、もっと好きになったわ。）
I was born. で｢私は生まれた。」ですから、Thanks for being born. を直訳すると「（君が）生まれてきたことに感謝する、生まれてきてくれてありがとう。」という意味になりますね。
日本語で聞くと、えらくキザな表現に聞こえるのですが（笑）、ぐぐったら結構な数がヒットしましたので、英語では普通の表現みたいです。
誕生日の定番表現かどうかは知りませんが、もしかしたら恋人同士の間で使う表現なのかもしれません。（だって、こんなこと言われたら恥ずかしくなりませんかぁ？）
ちなみに、Thank you for や Thanks for などの for の後には、動名詞が来る場合と、名詞が来る場合とがありますね。
ネイティブなら子どものときに身につける 英会話なるほどフレーズ100 （スティーブ・ソレイシィ、ロビン・ソレイシィ 共著） の p.54-55 Thanks. の項目にこの違いについて説明してあります。
引用させていただきますと、
このパターンは、Thank you for ...ing か、Thank you for your＋名詞、となる。
Thank you for your ...ing と動名詞に your をつけると間違いになる。
your ...ing というのは日本でよく耳にする間違いだ。
初めてそれを読んだ時は、へぇ〜と感心したのですが、それ以来、注意して聞いていると、確かにそうなんですよ。（←当たり前だ！）
別に your ...ing と言ったからといって、失礼に当たることはないと思うし、特に日本人にとっては、「そんな細かい話！」という気もするのですが、相手に「感謝する」フレーズですから、正しく使いたいところですよね。
どうして ing だと your が不要なのか、については、この本では詳しく説明はされていませんが、you の行為に対して thank （感謝する）わけなので、当然その動詞の行為をした人間は you に決まっているので、動名詞の主語をわざわざ言う必要がない、もしくは省略される、ということでしょうかねぇ？
ということで、Thank you for coming. 「来てくれてありがとう。」や Thank you for inviting me. 「ご招待、ありがとう。」の動名詞の場合は your は不要で、Thank you for your advice. 「アドバイスありがとう。」や Thank you for your e-mail. 「メールありがとう。」の場合は、名詞に your を付けるのを忘れずに、ということです。
Thank you for my beautiul earrings. ですが、ここでは名詞に定番の your ではなくて、my がついていますね。
プレゼントされてもう自分のものになっている（or もう身につけている）場合は、my になるのね…と妙なことに感心してしまいましたが。
そのプレゼントとしてあげたイヤリングを交換してもいいというロス。
きっとディナーの時にプレゼントして、「まぁ素敵！」と言ってレイチェルがその場で耳につけたんでしょう。
今日のデートももう終わりで、とりあえず喜んでもらったし、もう交換してもいいんだよ、と言ったら、レイチェルがあっさりそれを受け入れるのがおかしいですよね。
perfect とまで言って誉めておいて、それはただの社交辞令だったのかよ…という（笑）。
フレンズ1-24その4 で、gift receipt 「贈り物を渡す相手のためのレシート」について説明しましたが、アメリカではプレゼントにそういうレシートが入っていて、それを持っていくと、別の商品に交換してもらえるそうです。
日本では自分で購入したもので生ものでない場合は、レシートで交換してもらえますが、プレゼントは難しいような気がします。（百貨店から配送された品で、間違いなくそこで購入したことが明らかな場合は、交換可能なのかもしれない…私はそういうところは面倒くさがりなので、やってみたことはないですが…）
1-24 でもレイチェルはプレゼントに貰った服を交換していましたし、フレンズでは今後何度もそういう「交換」する話が出てきますので、わりと一般的な行為のようです。
ロスなりに一生懸命選んだんでしょうから、レイチェルの返事はちょっぴりがっかりだったかもしれませんね。
でもまぁ、それがまさに「レイチェル」であるとも言えるわけで、それをわかって言っているであろうロスはさすが「レイチェルの彼氏」というところでしょうか？
（Rach からのお願い）
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【関連する記事】
ここのThank you for ...ingですが、この〜ingは動名詞ですね。
Thank you for the dinner.
Thank you for coming. と名詞と同じ役割をしているので。
さて「ロイヤル英文法」の動名詞の項目に以下のようにまとめてありました。
--ここから
動名詞の主語が省略されるには以下の３つの場合があります。
１意味上の主語が一般の人。Beating a child is not good.
２意味上の主語が文の主語と一致。
３意味上の主語が直前の関連する動詞の目的語と一致。
Thank you for helping me.など
--ここまで
ですが要は、英語でも日本語でも、「言わなくても分かるものは言わない」が基本だと思います。
Thank youの場合は、もともとはI thank you.がThank youになったわけで、主語はIなんですが、youが直前に出てきているので、わざわざ言わなくても解るから言わない方がいいってことでしょうね。
うーん、2-22か。もう少しでSeason2クリアだなあwww
※関係ないけど、The Lord of the Rings関係のコメントを書いた時はリンク先を自分の指輪サイトに変えたんですが、それがずっと続いていたのに今日気付きました。ちゃんとURLを覚えていてくれるんだな、このブログ（って自分が覚える設定にしてあったんだけど）
コメントありがとうございます。
この Thank you for doing も、「動名詞の主語が省略される」場合の一例だということですね。
「直前の関連する動詞 thank の目的語 you と一致」しているから、your は省略される、ということになるわけですね。
「言わなくても分かるものは言わない」は、まさに基本ですね。
Thank you. の主語 I が省略されているのも、まさにそうですよね。Sounds great. みたいに主語が省略されている文章は、学生時代にはあまりなじみがなかったですが、実は Thank you. もその一種なわけですよね。これを「動詞で始まっているから命令形だ」と思う人もあまりいないわけですから、あまり文法を杓子定規に考えず、「言葉」としての感覚に慣れていくことが大事なんだろうな、と改めて思います。
コメント欄で、「名前・アドレスを覚えますか？」を「はい」にすると、前の入力データを覚えてくれるみたいですね。私も昔は自分のURLを入れていたんですが、よく考えたら自分のサイトで入れる必要ないやん、と気付き、その後、URLを入れるのはやめました（笑）。